Может ли сын унаследовать квартиру отца после его смерти?

Если квартира не была приватизирована, значит она принадлежала государству, а не отцу. Соответственно не является наследством.

Здравствуйте! Не может. Не приватизированная квартира является муниципальной собственностью, в то время как согласно ст. 1112 ГК РФ  в состав наследства входит имущество, принадлежавшее наследодателю на день смерти. 

Если бы сын был хотя бы зарегистрирован в квартире, он после смерти отца имел бы возможность изменить договор найма, стать нанимателем и приватизировать квартиру сам. В Вашем случае если только поставить вопрос о признании за сыном права пользования квартирой в судебном порядке, но здесь тоже не всё так просто, нужно уточнять. имеются ли основания для такого обращения.