Как мне на законных основаниях обозначить место проживания моих детей со мной?

Похожи, но отличаются. В Украине  у органов опеки больше прав, чем в России. В вашем случае по Семейному кодексу Украины

Статья 160. Право родителей на определение местожительства ребенка
1. Место жительства ребенка, не достигшего десяти лет, определяется по согласию родителей.
2. Место жительства ребенка, достигшего десяти лет, определяется по общему согласию родителей и самого ребенка.
3. Если родители проживают раздельно, место жительства ребенка, который достиг четырнадцати лет, определяется им самим.

Статья 161. Спор между матерью и отцом относительно места проживания малолетнего ребенка1. Если мать и отец, которые проживают отдельно, не пришли к согласию относительно того, с кем из них будет проживать малолетний ребенок, спор между ними может решаться органом опеки и попечительства или судом. При решении спора относительно местожительства малолетнего ребенка учитываются отношения родителей к выполнению своих родительских обязанностей, личная привязанность ребенка к каждому из них, возраст ребенка, состояние его здоровья и другие обстоятельства, имеющие существенное значение.
2. Орган опеки и попечительства или суд не могут передать ребенка для проживания с тем из родителей, кто не имеет самостоятельного дохода, злоупотребляет спиртными напитками или наркотическими средствами, своим аморальным поведением может повредить развитию ребенка.

<...>

Но обращаться вам нужно к украинским юристам, на этом сайте таких нет.