Что можно предпринять, если после гибели моей собаки началась травля в отношении меня?

Здравствуйте, Татьяна! Ну вообще по правде против травли в сети сложно что-то предпринять. Но если Вы конкретно знаете того или иного человека, который пишет оскорбительные сообщения в отношении Вас, Вы вправе написать на такого человека жалобу в прокуратуру. За оскорбление предусмотрена административная ответственность:

КоАП РФ Статья 5.61. Оскорбление

1. Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, — влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до трех тысяч рублей; на должностных лиц — от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.

С уважением!

Татьяна, Вы также обратиться в прокуратуру с заявлением об оскорблении по статье 5.61 КоАП РФ и даже возможно можете обратиться в суд с заявлением о клевете — статья 128.1 УК РФ, клевета — это уголовное дело частного обвинения, но нужно точно знать, что конкретно написано для установления состава и какая информация распространяется, а параллельно можно в исковом порядке требовать удаления порочащих вседений, но главное — компенсации морального вреда в соответствии со статьей 151 ГК РФ.

Вам необходимо писать заявление в правоохранительные органы з\о привлчение к уголовной ответственности за клевету по Статье 128.1. УК РФ Клевета

1. Клевета, то есть распространение заведомо ложных сведений, порочащих честь и достоинство другого лица или подрывающих его репутацию, — наказывается штрафом в размере до пятисот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев либо обязательными работами на срок до ста шестидесяти часов.
2. Клевета, содержащаяся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, — наказывается штрафом в размере до одного миллиона рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до одного года либо обязательными работами на срок до двухсот сорока часов.
3. Клевета, совершенная с использованием своего служебного положения, — наказывается штрафом в размере до двух миллионов рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до двух лет либо обязательными работами на срок до трехсот двадцати часов.
4. Клевета о том, что лицо страдает заболеванием, представляющим опасность для окружающих, а равно клевета, соединенная с обвинением лица в совершении преступления сексуального характера, — наказывается штрафом в размере до трех миллионов рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет либо обязательными работами на срок до четырехсот часов.
5. Клевета, соединенная с обвинением лица в совершении тяжкого или особо тяжкого преступления, — наказывается штрафом в размере до пяти миллионов рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до трех лет либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов.

А также о привлечение к административной ответственности за оскорбления: 

КоАП РФ Статья 5.61. Оскорбление

1. Оскорбление, то есть унижение чести и достоинства другого лица, выраженное в неприличной форме, — влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от одной тысячи до трех тысяч рублей; на должностных лиц — от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц — от пятидесяти тысяч до ста тысяч рублей.
2. Оскорбление, содержащееся в публичном выступлении, публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации, — влечет наложение административного штрафа на граждан в размере от трех тысяч до пяти тысяч рублей; на должностных лиц — от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей; на юридических лиц — от ста тысяч до пятисот тысяч рублей.
3. Непринятие мер к недопущению оскорбления в публично демонстрирующемся произведении или средствах массовой информации — влечет наложение административного штрафа на должностных лиц в размере от десяти тысяч до тридцати тысяч рублей; на юридических лиц — от тридцати тысяч до пятидесяти тысяч рублей.