Какие у моего бывшего сожителя права на дом, если он в нем прописан и имеет долю?

Здравствуйте, Кристина! Регистрация (прописка) даёт ему право пользования (проживания) в доме. Хотя такое рпаво даёт ему также и наличие у него доли в праве на дом. Поскольку он является собственником доли, то у него есть права, предусмотренные ст. 209 ГК РФ:

Собственник вправе по своему усмотрению совершать в отношении принадлежащего ему имущества любые действия, не противоречащие закону и иным правовым актам и не нарушающие права и охраняемые законом интересы других лиц, в том числе отчуждать свое имущество в собственность другим лицам, передавать им, оставаясь собственником, права владения, пользования и распоряжения имуществом, отдавать имущество в залог и обременять его другими способами, распоряжаться им иным образом.