Добрый вечер, Лана! Т.к. ребенку 6 лет, то в соответствии со ст. 59 СК РФ нужно согласие отца на перемену фамилии, если бы отцовство не было установлено, то орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка мог бы разрешить изменить фамилию ребенка на фамилию матери, но у вас отцовство установлено, такой вариант не подходит.
Если отец находится в местах лишения свободы, участия в воспитании ребенка не принимает, можно попробовать решить этот вопрос через орган опеки, который рассматривает вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Также можно указать, что отец уклоняется от воспитания и содержания ребенка, в частности не платит алименты, находится в тюрьме. Согласно ст. 69 СК РФ уклонение от выполнения обязанностей родителей, в том числе злостное уклонение от уплаты алиментов может послужить основанием для лишения родительских прав.
Статья 59. Изменение имени и фамилии ребенка
1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.
(в ред. Федерального закона от 15.11.1997 N 140-ФЗ)
2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.
К этой статье вы можете теоретически привязаться, указав на невменяемость человека связанного с наркотиками и опасность его для ребенка.