Может ли мой сожитель выселить меня и ребенка из квартиры, которую он снимает?

Ольга, да, к сожалению, может. Сожитель не является законным супругом. Следовательно, предписания Семейного кодекса над ним не властны. Юридически это абсолютно посторонний вам человек. Раз договор найма квартиры заключил он, он вправе сделать это и потребовать от вас освобождения жилплощади.