Как или чем убедить поставщика услуг изменить счет и не выделять НДС?

Да, фонд оплачивает счет с учетом НДС. Для фонда — это расход. Никаких дополнительных обязанностей по НДС у фонда не возникает. В данном случае выставление счет-фактуры — необходимое условия для контрагента-исполнителя, который должен при получении от фонда вознаграждения заплатить НДС в бюджет  и отразить выставленную счет-фактуру в книге продаж.