Нужно ли мне выписываться с прежнего места прописки или достаточно прописаться в новом месте?

Здравствуйте! Вам достаточно обратиться за регистрацией по новому месту жительства, и будет произведено снятие с регистрации по прежнему месту жительства.

Пункт 31 

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713  «Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечня лиц, ответственных за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия с регистрационного учета граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»

Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
а) изменения места жительства — на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства или заявления о снятии его с регистрационного учета по месту жительства (в письменной форме или в форме электронного документа).При регистрации по новому месту жительства, если гражданин не снялся с регистрационного учета по прежнему месту жительства, орган регистрационного учета в 3-дневный срок обязан направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по прежнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета.

Здравствуйте ! 

По поставленному Вами вопросу Вам необходимо обратиться в территориальный отдел ФМС (паспортный стол) по адресу Вашей настоящей регистрации (той которая у Вас имеется в настоящее время) и только после этого осуществить все необходимые действия по снятию с регистрационного учета и регистрации по новому адресу места жительства в установленный законом срок и порядке. Обращая Ваше внимание, что законодательством установлена обязанность зарегистрироваться по новому адресу места жительства в срок 7 дней с даты снятия с регистрационного учета.

Артем, конечно, нужно прекратить регистрацию по старому месту жительства. Дело не в паспорте — данные о регистрации есть в  базе и попытка сделать регистрацию еще в одном месте будет квалифицироваться как мошенничество.