Что я должен сделать по приезду в Москву и сколько можно оставаться?

Шахбоз, вы не конкретизировали, по каким именно личным делам вы хотите уехать в Москву и на какой именно срок. В силу статьи 11 Федерального закона от 25.07.2002 N 115-ФЗ «О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации» иностранные граждане имеют право на свободу передвижения в личных или деловых целях в пределах Российской Федерации на основании документов, выданных или оформленных им в соответствии с настоящим Федеральным законом, за исключением посещения территорий, организаций и объектов, для въезда на которые в соответствии с федеральными законами требуется специальное разрешение. А по смыслу статьи 13 этого же закона (часть 5) временно проживающий в Российской Федерации иностранный гражданин не вправе осуществлять трудовую деятельность вне пределов субъекта Российской Федерации, на территории которого ему разрешено временное проживание. 

Поэтому если вам нужно в Москву надолго, обратитесь в миграционную службу за оформлением разрешения на такую поездку и на такой срок (лучше письменно и лучше под копию обращения с их входящей отметкой о принятии вашего обращения, на случай всяческих недоразумений — вдруг миграционная служба сделает что-то не так (некомпетентных сотрудников у нас навалом — и вам будут вменять нарушение норм пребывания из-за неграмотных действий сотрудников). 

Здравствуйте, Вы вправе временно пребывать в любом регионе России, закон не ограничивает свободу передвижения.Обязанность, установленная ФЗ № 109 «О миграционном учете ИГ  в РФ» устанавливает обязательный срок постановки на миграционный учет по новому месту Вашего пребывания 7 рабочих дней.Вы не вправе осуществлять трудовую деятельность вне пределов того региона, по которому Вы его получили и менять место проживания.Но Вы можете выехать в другой регион на временное пребывание с обязательной постановкой на миграционный учет по данному адресу, если приехали более чем на 7 дней, не с целью работать.У Вас также есть право выехать за пределы Рф но на срок не более 6 месяцев в течение года суммарно.