Здравствуйте,
Вы можете попробовать изменить фамилию ребенка, но получится ли — на усмотрение органа опеки.
По п.2 ст. 59 Семейного кодекса
Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.
Обратитесь в орган опеки с заявлением, приложите к нему копию постановления о расчете задолженности по алиментам. Если будет отказ — тогда отца ребенка нужно лишать родительских прав. Можно сразу это сделать, основания, судя по всему, есть.
Обращайтесь, буду рад помочь.
С уважением, Андрей Козырев