Где в Братске можно получить разрешение для проведения работ с металлоискателем?

Здравствуйте, Дмитрий.

Если вы имеете ввиду пользование металлоискателем в бытовых (любительских) целях (например, поиск вещей на пляже и т.п.), то на эту деятельность разрешения не требуется. Если же вы намерены осуществлять поиск вещей в местах, отнесенных  к объектам культурного наследия, то на это требуется разрешение, получение которого регламентировано:

Федеральный закон от 25.06.2002 N 73-ФЗ (ред. от 18.07.2019) «Об объектах культурного наследия (памятниках истории и культуры) народов Российской Федерации»

Статья 45.1. Порядок проведения археологических полевых работ

1. Работы по выявлению и изучению объектов археологического наследия, включая работы, имеющие целью поиск и изъятие археологических предметов (далее — археологические полевые работы), проводятся на основании выдаваемого сроком не более чем на один год разрешения (открытого листа).
Поиск археологических предметов и их изъятие из мест залегания могут производиться исключительно в составе археологических полевых работ.
2. Разрешение (открытый лист) — документ, выдаваемый федеральным органом охраны объектов культурного наследия на основании заключения Российской академии наук и подтверждающий право на проведение одного из видов археологических полевых работ, указанных в пункте 7 настоящей статьи.
3. Порядок выдачи разрешений (открытых листов), приостановления и прекращения их действия устанавливается Правительством Российской Федерации.

В Братске учреждений, уполномоченных выдавать указанные разрешения нет. Удачи.