Можно ли завещать или подарить квартиру, если она в залоге у банка?

Здравствуйте! Да можно. В случае принятия наследства наследник будет нести обязанности залогодателя.  

ГК РФ Статья 353. Сохранение залога при переходе прав на заложенное имущество к другому лицу

1. В случае перехода прав на заложенное имущество от залогодателя к другому лицу в результате возмездного или безвозмездного отчуждения этого имущества (за исключением случаев, указанных в подпункте 2 пункта 1 статьи 352 и статье 357 настоящего Кодекса) либо в порядке универсального правопреемства залог сохраняется.Правопреемник залогодателя приобретает права и несет обязанности залогодателя, за исключением прав и обязанностей, которые в силу закона или существа отношений между сторонами связаны с первоначальным залогодателем.
2. Если имущество залогодателя, являющееся предметом залога, перешло в порядке правопреемства к нескольким лицам, каждый из правопреемников (приобретателей имущества) несет вытекающие из залога последствия неисполнения обеспеченного залогом обязательства соразмерно перешедшей к нему части указанного имущества. Однако если предмет залога неделим или по иным основаниям остается в общей собственности правопреемников, они становятся солидарными залогодателями.

Добрый день, 

Оформить дарственную (заключить договор дарения) Вы можете только с согласия банка как залогодержателя, так как сделка предусматривает переход права собственности непосредственно после ее совершения

В соответствии с ч.  ст. 346 ГК РФ, залогодатель не вправе отчуждать предмет залога без согласия залогодержателя, если иное не предусмотрено законом или договором и не вытекает из существа залога.