В какой срок должно быть направлено определение об отказе в принятии искового заявления?

Здравствуйте, Георгий!

Согласно ст. 135 ГПК РФ в этом случае Вам должны вернуть исковое заявление, а не отказать в его принятии к производству:

1. Судья возвращает исковое заявление в случае, если:
1) истцом не соблюден установленный федеральным законом для данной категории дел досудебный порядок урегулирования спора либо истец не представил документы, подтверждающие соблюдение досудебного порядка урегулирования спора с ответчиком, если это предусмотрено федеральным законом для данной категории споров;

1.1) заявленные требования подлежат рассмотрению в порядке приказного производства;

2) дело неподсудно данному суду общей юрисдикции или подсудно арбитражному суду;

3) исковое заявление подано недееспособным лицом;
4) исковое заявление не подписано или исковое заявление подписано и подано лицом, не имеющим полномочий на его подписание и предъявление в суд;
5) в производстве этого или другого суда либо третейского суда имеется дело по спору между теми же сторонами, о том же предмете и по тем же основаниям;
6) до вынесения определения суда о принятии искового заявления к производству суда от истца поступило заявление о возвращении искового заявления;
7) не устранены обстоятельства, послужившие основаниями для оставления искового заявления без движения, в срок, установленный в определении суда.

2. О возвращении искового заявления судья выносит мотивированное определение, в котором указывает, в какой суд следует обратиться заявителю, если дело неподсудно данному суду, или как устранить обстоятельства, препятствующие возбуждению дела. Определение суда должно быть вынесено в течение пяти дней со дня поступления заявления в суд и вручено или направлено заявителю вместе с заявлением и всеми приложенными к нему документами.
3. Возвращение искового заявления не препятствует повторному обращению истца в суд с иском к тому же ответчику, о том же предмете и по тем же основаниям, если истцом будет устранено допущенное нарушение. На определение судьи о возвращении заявления может быть подана частная жалоба.

в какой срок должно быть направлено определение об отказе в принятии искового заявления по причине неподсудности суду?

И правомерно, если определение вынесли 8 числа а информацию на сайте суда разместили только 10.

И как подать частную жалобу, если письмо придет по истечению 15 дней, так как суд в другом городе?

Георгий

Направляется определение незамедлительно. Однако на практике фактически определение может быть направлено и через достаточно длительный срок, что будет являться основанием для восстановления срока на подачу частной жалобы.