Как их можно выселить из квартиры по закону, или мне придётся отказатся от доли квартиры, и выплотить тот штраф чтобы я мог пользаватся картой

Здравствуйте! Поскольку отец и не прописан в квартире и не является собственником, то его можно выселить через суд, хотя стоит сказать о том, что ребенок имеет право проживать со своими родителями (ст.54 Семейного кодекса РФ), а также ст.20 Гражданского кодекса РФ:

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

В том числе и поэтому выселение и выписка из квартиры Вашей матери маловероятна. Если Ваши родители не надлежащим образом исполняют свои обязанности, то скорее всего нужно будет ставить вопрос о лишении их родительских прав, а Вам оформлять опеку над братом. После лишения родительских прав, мать можно будет снять с регистрационного учета в квартире. 

По поводу как Вы говорите штрафа, то это, если я правильно понимаю, задолженность за содержание жилья и коммунальные услуги, взыскиваемые с Вас через суд. Поскольку Вы не имеете дохода, Вы можете самостоятельно обратиться в суд для получения рассрочки или отсрочки взыскания.

ст.203 Гражданского процессуального кодекса РФ суд, рассмотревший дело, по заявлениям лиц, участвующих в деле, судебного пристава-исполнителя исходя из имущественного положения сторон или других обстоятельств вправе отсрочить или рассрочить исполнение решения суда, изменить способ и порядок его исполнения.

Также в зависимости от суммы задолженности Вы можете признать себя банкротом.