Как привлечь их к ответсвенности или это бесполезно

Здравствуйте, Айгуль!
Любое домашнее животное рассматривается по законодательству как имущество (ст. 137 ГК РФ), т.е если по небрежности другого владельца (если рассматривать факт того, что собака была без намордника и поводка) вы утратили свое имущество (собаку), вы вправе обратиться в суд с иском о возмещении причиненного ущерба. Также, ознакомьтесь со ст 1064 ГК РФ 

1. Необходимо собрать пакет документов, в том числе доказывающих стоимость собаки, факт произошедшего случая (если происшествие не задокументировано, найти свидетелей — это допускается). 

2. Можно обратиться к ветеринару, получив нужные данные о причине смерти собаки. 

3. Попробуйте договориться с соседом, если не удастся, то со всеми вышеперечисленными документами обращайтесь в соответствующие органы. 

Здравствуйте! У вас есть право на компенсацию причиненного вреда имуществу (животное), но, нужно данный факт подтвердить документально. 

Потребуется юридическая помощь, обращайтесь, помогу взыскать причиненный ущерб.