Можно ли поставить сегодняшнюю дату на договоре, если он будет распространять своё действие на правоотношения, возникшие с 1.07.2020 года?

Добрый день! 

Полагаю, Вам нужно указать дату договора такую, когда Вы указанный договор фактически будете подписывать (по сути это и будет дата его заключения). Именно с даты заключения договор, как правило, вступает в силу и становится обязательным для сторон, если только законом не установлено иное либо сам договор не предусматривает иную дату его вступления в силу. 

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)» от 30.11.1994 N 51-ФЗ (ред. от 16.12.2019, с изм. от 28.04.2020)
Статья 420. Понятие договора
 

1. Договором признается соглашение двух или нескольких лиц об установлении, изменении или прекращении гражданских прав и обязанностей.
2. К договорам применяются правила о двух- и многосторонних сделках, предусмотренные главой 9 настоящего Кодекса, если иное не установлено настоящим Кодексом.
(в ред. Федерального закона от 08.03.2015 N 42-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3. К обязательствам, возникшим из договора, применяются общие положения об обязательствах (статьи 307 - 419), если иное не предусмотрено правилами настоящей главы и правилами об отдельных видах договоров, содержащимися в настоящем Кодексе.
4. К договорам, заключаемым более чем двумя сторонами, общие положения о договоре применяются, если это не противоречит многостороннему характеру таких договоров.
 

Поскольку стороны договариваются об определенных условиях, прописывают соответственно, санкции за их несоблюдение, то условие о начале действия договора с 01.07 не препятствует его подписанию сегодня.  

Более детальную консультацию можно будет дать, если Вы укажите, какого рода договор намерены заключить и на каких условиях.