Здравствуйте, может ли отец ребёнка через госуслуги оформить пособия на ребёнка в размере 5000 рублей, которые предоставлены на детей до трёх лет с апреля по июнь?

Здравствуйте, Марина Сергеевна!

Нет. Если он не отец-одиночка.

Постановление Правительства РФ от 09.04.2020 N 474 «Об утверждении Правил осуществления ежемесячной выплаты семьям, имеющим право на материнский (семейный) капитал»:
Ежемесячная выплата при соблюдении условий, предусмотренных пунктом 2 настоящих Правил, осуществляется следующим категориям граждан (далее — заявители):
лицам, имеющим право на дополнительные меры государственной поддержки в соответствии с Федеральным законом «О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей»;
лицам, имевшим право на дополнительные меры государственной поддержки в соответствии с Федеральным законом «О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей», полностью распорядившимся средствами материнского (семейного) капитала. 

А лицами, имеющими право на дополнительные меры государственной поддержки в соответствии с Федеральным законом «О дополнительных мерах государственной поддержки семей, имеющих детей» являются:
Ст. 3 Федерального закона от 29.12.2006 N 256-ФЗ «О дополнительных мерах государственной

поддержки семей, имеющих детей»

1. Право на дополнительные меры государственной поддержки возникает при рождении (усыновлении) ребенка (детей), имеющего гражданство Российской Федерации, у следующих граждан Российской Федерации независимо от места их жительства:
1) женщин, родивших (усыновивших) второго ребенка начиная с 1 января 2007 года;
2) женщин, родивших (усыновивших) третьего ребенка или последующих детей начиная с 1 января 2007 года, если ранее они не воспользовались правом на дополнительные меры государственной поддержки;
3) мужчин, являющихся единственными усыновителями второго, третьего ребенка или последующих детей, ранее не воспользовавшихся правом на дополнительные меры государственной поддержки, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2007 года;
4) женщин, родивших (усыновивших) первого ребенка начиная с 1 января 2020 года;
(п. 4 введен Федеральным законом от 01.03.2020 N 35-ФЗ)
5) мужчин, являющихся единственными усыновителями первого ребенка, ранее не воспользовавшихся правом на дополнительные меры государственной поддержки, если решение суда об усыновлении вступило в законную силу начиная с 1 января 2020 года. 

Заявление на данную выплату может быть направлено в форме электронного документа через Единый портал госуслуг, через «Личный кабинет застрахованного лица» информационной системы Пенсионного фонда РФ, либо через МФЦ с предъявлением документов, удостоверяющих личность заявителя (удостоверяющих личность и полномочия представителя).

Поскольку отце ребёнка не является получателем данного пособия (если он не отец-одиночка), то и заявителем он быть не может.