Но я не клиент банка Можно ли подать на них в суд?

Вы вправе заявить в суд иск о взыскании суммы компенсации морального вреда, но необходимо предоставить доказательства лучше письменные, что именно: банк направлял смс. Размер к сожалению будет не большой. Нужно установить сведения об отправителе. Наименование Pochtabank не может свидетельствовать, что именно: ОА «Почта Банк» отправлено, данные смс могут направлять через программу.

Тогда заявлении еще укажите просьбу подтвердить или опровергнуть информацию о направлении смс о наличии задолженности. 

Есть судебная практика, к примеру, в определение Верховного суда РФ по делу № 9-КГ15-21 от от 12.04.2016 г., указано, что

Учитывая, что кредитор в своей деятельности по осуществлению взыскания задолженности с должников вправе взаимодействовать с заемщиком и лицами, предоставившими обеспечение по договору кредита (займа), такая деятельность должна осуществляться на основе принципов законности, добросовестности, конфиденциальности, в связи с чем лицо, осуществляющее взыскание задолженности, обязано действовать только в рамках предоставленных ему законом полномочий, не допускать противоправных действий, в частности обязано обеспечивать защиту персональных данных, а также иных сведений, защита которых предусмотрена законом.
Само по себе то обстоятельство, что по условиям кредитного договора, с письменного согласия должника банк вправе был производить уведомление  о состоянии счета, наличии заложенности по кредиту и необходимости ее погашения, не освобождает кредитную организацию от обязанности соблюдения защищаемых законом прав и интересов, как должника, так и третьих лиц, не являющихся участниками кредитных отношений, при осуществлении ею своих прав на получение от должника исполнения по кредитным обязательствам, и подлежало оценке судом учетом с положений статьи 1 Гражданского кодекса Российской Федерации, в частности пункта 3 этой статьи, согласно которому при установлении, осуществлении и защите гражданских прав и при исполнении гражданских обязанностей участники гражданских правоотношений должны действовать добросовестно.

При рассмотрении вышеуказанного дела банк кроме смс и телефонных звонков отправлял письма на адрес с печатями и подписями.