Какие документы нужны и что в первую очередь мне делать?

Здравствуйте, Софья.

Вашему дедушке следует обращаться в суд с требованиями признать его принявшим наследство, требования обосновывать п.2 ст.1153 ГК РФ, согласно которой

2. Признается, пока не доказано иное, что наследник принял наследство,если он совершил действия, свидетельствующие о фактическом принятии наследства, в частности если наследник:
......

Необходимо доказать обстоятельства принятия указанных действий.

После принятия судом решения, он как собственник, вправе зарегистрироваться по месту жительства в квартире.

Если Вам требуются более подробные разъяснения по Вашему вопросу или составление иска в суд, Вы можете обратиться ко мне  в чат (кнопка «общаться в чате» рядом с фото юриста).  Индивидуальные консультации и услуги по составлению документов оказываются на платной основе, стоимость по договоренности. 

Обращайтесь, буду рад помочь!

С уважением