Здравствуйте, Алина!
В соответствии с п. 2 ст. 59 Семейного Кодекса РФ:
Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.
В Вашем случае отец выплачивает алименты ребёнку, следовательно, необходимо будет его согласие на смену фамилии ребёнка.
Для решения второго вопроса, его необходимо обговаривать с отцом ребенка. В соответствии со ст. 61 СК РФ
Родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей (родительские права).
Согласно ст. 21 Федеральный закон от 15.08.1996 N 114-ФЗ" О порядке выезда из Российской Федерации и въезда в Российскую Федерацию" согласие второго родителя на выезд из страны не требуется, если нет судебного решения о запрете выезда ребенка за пределы страны без согласия второго родителя.
Но есть ряд стран, который запрещает въезд на свою территорию без согласия обоих родителей. Необходимо обратиться к нотариусу и составить согласие.
Если согласие получить не удается, то «заменой» его может быть только решение суда о лишении второго родителя родительских прав.