Арбитражный суд - может быть государственным и не государственным? Или не государственный называется по другому? - просто арбитраж?

Третейский суд — это арбитражный суд?

Нет, это сам по себе суд. 

Отличия третейского суда от арбитражного и суда общей юрисдикции

Главное отличие: третейские суды создаются компаниями, арбитражные суд и суды общей юрисдикции учреждаются государством.
В третейские суды стороны обращаются только по взаимному согласию. Требуется оформление арбитражного соглашения, в котором стороны указывают, что они обязуются обратиться в третейский суд при возникновении спора. Если стороны не договорятся, то придётся идти в арбитражный суд;

Для обращения в арбитражные суды и суды общей юрисдикции никаких договорённостей ни о чем не нужно.