Какой порядок наших действий и какие сроки на все действия?

Здравствуйте, Сергей! 
В соответствии с положением статьи 1142 Гражданского кодекса Российской Федерации Вы являетесь наследником по праву представления, т.е. в случае отказа Вашего отца от наследства, право наследования на ружье перейдет Вам.
Однако, в соответствии с требованиями федерального закона «Об оружии» от 13.12.1996 N 150-ФЗ, Вам необходимо подготовить ряд документов для получения разрешения на хранение и использование гражданского огнестрельного оружия.
Вам понадобятся следующие документы:
— Справка от нарколога и психиатра (форма 003-О/у);
— Справка об отсутствии противопоказаний к владению оружием (форма 002-О/у);
— Охотничий билет (оформляется через Госуслуги или МФЦ).
Далее Вам необходимо будет приобрести сейф для хранения оружия, а также обратиться в Отдел лицензионно-разрешительной работы Управления Росгвардии для того, чтобы сотрудник ОЛРР подготовил рапорт по Вашему сейфу (если он отвечает всем требованиям) и в последствии выдал заветную лицензию при повторном обращении в ОЛРР после оформления документов. 

После всего вышеперечисленного Вы имеете возможность подать заявление о вступлении в наследство у нотариуса. Срок для вступления в наследство, в соответствии с положениями статьи 1154 Гражданского кодекса Российской Федерации, составляет шесть месяцев со дня открытия наследства.

Сергей, добрый день!

Поскольку ваш отец жив, наследовать по праву представления вы не можете, поскольку 

Доля наследника по закону, умершего до открытия наследства или одновременно с наследодателем, в установленных случаях переходит по праву представления к его соответствующим потомкам.

Так как наследником вы не являетесь, то ответ на ваш вопрос зависит от того, есть ли у вашего отца лицензия на приобретение гражданского оружия. 

Если нет, то рекомендую следующий алгоритм действий:

1. Вашему отцу необходимо получить свидетельство о праве на наследство.

Переоформление оружия на имя наследника проводят органы Росгвардии на основании в том числе документов, подтверждающих законность вступления в наследство, а именно свидетельства о праве на наследство. 

Если у вашего отца отсутствует лицензия на оружие, то некоторое время он не сможет хранить оружие у себя. Как только нотариус узнает, что в состав наследства входит оружие, он немедленно уведомит об этом органы Росгвардии.

При отсутствии лицензии некоторое время ваш отецне сможет хранить оружие у себя. Как только нотариус узнает, что в состав наследства входит оружие, он немедленно уведомит об этом органы Росгвардии

Оружие вернут только после того, как ваш отец получит свидетельство о праве на наследство и лицензию на приобретение гражданского оружия. При этом срок хранения оружия в органах Росгвардии — не более года, после чего оружие будет продано.

2. Условия получения лицензии зависят от конкретного вида ружья. 

Обычно, для получения лицензии необходимо обратитсья в органы Росгвардии и представить определенный пакет документов. Примерный перечень документов вам примерно описали в ответе выше.

3. Параллельно с этим вы получаете лицензию на оружие на себя.

4. После того, как вы оба получите лицензии и оружие отдадут вашему отцу, он сможет передать ружье вам в дар.