Кто владелец части цоколя?

Здравствуйте Елена.

В данном случае вы имеете дело с незаконным строением (пристройкой).

Владельцем скорее всего является хозяйка, потому что вход один. 

ст.222 ГК РФ

Самовольной постройкой является здание, сооружение или другое строение, возведенные или созданные на земельном участке, не предоставленном в установленном порядке, или на земельном участке, разрешенное использование которого не допускает строительства на нем данного объекта, либо возведенные или созданные без получения на это необходимых в силу закона согласований, разрешений или с нарушением градостроительных и строительных норм и правил, если разрешенное использование земельного участка, требование о получении соответствующих согласований, разрешений и (или) указанные градостроительные и строительные нормы и правила установлены на дату начала возведения или создания самовольной постройки и являются действующими на дату выявления самовольной постройки.

Вы можете ничего не менять и жить в самострое, но если самострой будет нарушать права общества или частные, то есть вероятность судебных разбирательств, вплоть до сноса.

Можно узаконить.

При оформлении капитального пристроя придется понести некоторые затраты:

госпошлина – до 500 рублей;
судебная строительно-техническая экспертиза – 20 тысяч рублей;
согласование перепланировки дома – в районе 20 тысяч;
занесение новых данных в техплан – от 10 тысяч.

С уважением, Валерий.