Обязан ли я в течении этого времени исполнять свои обязанности?

Добрый день. 

В случае, если в заявлении на увольнение по собственному желанию Вы не указали конкретную дату увольнения, Вам необходимо исполнять свои обязанности, так как их неисполнение может повлечь за собой увольнение Вас не по собственному желанию, а за нарушение трудовой дисциплины.

ТК РФ предусмотрена возможность увольнения без отработки двухнедельного срока, но это должно быть прописано в заявлении на увольнение и обосновано Вами.

ТК РФ Статья 80. Расторжение трудового договора по инициативе работника (по собственному желанию)

Работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим Кодексом или иным федеральным законом. Течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.

По соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

В случаях, когда заявление работника об увольнении по его инициативе (по собственному желанию) обусловлено невозможностью продолжения им работы (зачисление в образовательную организацию, выход на пенсию и другие случаи), а также в случаях установленного нарушения работодателем трудового законодательства и иных нормативных правовых актов, содержащих нормы трудового права, локальных нормативных актов, условий коллективного договора, соглашения или трудового договора работодатель обязан расторгнуть трудовой договор в срок, указанный в заявлении работника.
До истечения срока предупреждения об увольнении работник имеет право в любое время отозвать свое заявление. Увольнение в этом случае не производится, если на его место не приглашен в письменной форме другой работник, которому в соответствии с настоящим Кодексом и иными федеральными законами не может быть отказано в заключении трудового договора.

По истечении срока предупреждения об увольнении работник имеет право прекратить работу. В последний день работы работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку или предоставить сведения о трудовой деятельности (статья 66.1 настоящего Кодекса) у данного работодателя, выдать другие документы, связанные с работой, по письменному заявлению работника и произвести с ним окончательный расчет.

Добрый день, Андрей!

Согласно Трудовому кодексу Вы обязаны предупредить работодателя о желании уволиться. Касательно отработки в ТК РФ нет условия об обязательной двухнедельной отработке. Но есть определенные случаи когда, например Вы можете написать заявление об увольнении и весь срок  находиться в отпуске или болеть(с официальным больничным). Данный срок в этом случае не продлевается (Письмо Роструда от 05.09.2006 N 1551-6).Однако если Вы просто без уважительной причины не будете появляться на работе, то это будет с Вашей стороны уже прогулы и невыполнение рабочих обязательств за что будут свои последствия. Вплоть до увольнения не по собственному  желанию.