Может ли осуществлять судебное представительство от имени Правительства РФ адвокат либо другое лицо, не состоящее в штате подведомственных Правительству органов и организаций?

Приведённые Вами вопросы регулируются Гражданским процессуальным кодексом РФ (ГПК РФ — далее), а также специальным нормативным  актом - Постановлением Правительства РФ от 1 июня 2004 г. N 260 «О Регламенте Правительства Российской Федерации и Положении об Аппарате Правительства Российской Федерации» (с изменениями и дополнениями)(Постановление 260 — далее)

Общие требования к представителям содержатся в ст. 49 ГПК РФ:

1. Представителями в суде могут быть дееспособные лица, полномочия которых на ведение дела надлежащим образом оформлены и подтверждены, за исключением лиц, указанных в статье 51 настоящего Кодекса.

2. Представителями в суде, за исключением дел, рассматриваемых мировыми судьями и районными судами, могут выступать адвокаты и иные оказывающие юридическую помощь лица, имеющие высшее юридическое образование либо ученую степень по юридической специальности.

Никаких специальных норм в отношении представительства в суде  Правительства РФ приведённая норма ГПК не содержит. 

В соответствии с Постановлением 260:

115. Для представления позиции Правительства в Конституционном Суде Российской Федерации и Верховном Суде Российской Федерации Правительство из числа лиц, имеющих ученую степень по юридической специальности, назначает полномочного представителя Правительства в Конституционном Суде Российской Федерации и Верховном Суде Российской Федерации, действующего от имени Правительства без доверенности. Полномочный представитель координирует деятельность иных представителей Правительства, представляющих интересы Правительства в указанных судах в соответствии с настоящим Регламентом.

118. В случае предъявления в суд общей юрисдикции и в арбитражный суд (кроме Верховного Суда Российской Федерации) исковых или иных требований к Правительству представление интересов Правительства в суде осуществляют без дополнительного поручения федеральные министерства, иные федеральные органы исполнительной власти, руководство деятельностью которых осуществляет Президент Российской Федерации или Правительство, на основании направленных им Аппаратом Правительства документов, поступивших в Правительство, а также сотрудники Аппарата Правительства по доверенности.

В случае предъявления в суд общей юрисдикции или в арбитражный суд исковых или иных требований к Аппарату Правительства представление интересов Аппарата Правительства в суде (кроме Верховного Суда Российской Федерации) осуществляют сотрудники Аппарата Правительства.

Требования к оформлению полномочий представителя содержаться в ст. 53 ГПК РФ:

1. Полномочия представителя на ведение дела должны быть выражены в доверенности, выданной и оформленной в соответствии с законом.

3. Доверенность от имени организации выдается за подписью ее руководителя или иного уполномоченного на это ее учредительными документами лица, скрепленной печатью этой организации (при наличии печати).

Полномочия руководителей, органов, действующих в пределах полномочий, предоставленных им федеральным законом, иными правовыми актами или учредительными документами, либо представителей организаций, действующих от имени организаций в пределах полномочий, предусмотренных федеральным законом, иным нормативным правовым актом или учредительными документами, подтверждаются представляемыми ими суду документами, удостоверяющими их статус и факт наделения их полномочиями.