Здравствуйте, Алексей!
1. Согласно п.2 Приказа МВД России от 21.12.2019 N 950 (ред. от 28.09.2020) «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации предоставления государственной услуги по регистрации транспортных средств»
Заявителями на предоставление государственной услуги являются физические лица, зарегистрированные по месту жительства или месту пребывания в Российской Федерации
2.То есть приобрести машину в России вы можете, что касается постановки на учет в ГИБДД, то сможете это сделать при наличии документа, подтверждающего регистрацию по месту жительства или по месту пребывания.
3.Временный ввоз в ЛНР сможете оформить согласно таможенного законодательства ЛНР
4.Водительское удостоверение ЛНР в России действительно (Указ Президента Российской Федерации от 18 февраля 2017 г. N 74).
5.Для управления машиной в России вы будете обязаны оформить полис ОСАГО (обязательного страхования автогражданской ответственности), если хотите доверить управление другому лицу, то при оформлении полиса он также должен быть вписал в полис