Здравствуйте, моя собака сбежала и погрызла чужих кур, буду ли я за это нести ответственность?

В данной ситуации речь может идти только о гражданской ответственности, так как Вашего умысла в уничтожении или порче чужого имущества не было. Согласно ст. 137 ГК РФ

К животным применяются общие правила об имуществе

Исходя из этого и из положений статьи 1064 ГК РФ, требования владельца кур о возмещении материального вреда будут законными. 

Сложность может возникнуть только в оценке стоимости кур как имущества.

Добрый день Елена.

ГК РФ Статья 137. Животные

«К животным применяются общие правила об имуществе постольку, поскольку законом или иными правовыми актами не установлено иное.»

Вряд ли здесь будет какая-то правовая ответственность. Скорей всего Вас попросят уплатить причинённый ущерб соразмерности стоимости кур. Однако если рассматривать в гражданско-правовом характере ситуацию, то допустимым будет применение нормы ст. 1064 ГК РФ «Общие основания ответственности за причинение вреда»:

Законом обязанность возмещения вреда может быть возложена на лицо, не являющееся причинителем вреда;

Лицо, причинившее вред, освобождается от возмещения вреда, если докажет, что вред причинен не по его вине. Законом может быть предусмотрено возмещение вреда и при отсутствии вины причинителя вреда.