Как продать квартиру с долгом за коммуналку, и купить квартиру в другом городе на материнский капитал + деньги от продажи

Добрый день. Михаил, долг по коммунальным платежам связан непосредственно с собственником квартиры, а не с самой квартиры, и поэтому долг по коммунальным платежам не переходит новому собственнику. 
В силу статьи 153 Жилищного кодекса Российской Федерации обязанность по внесению платы за жилое помещение и коммунальные услуги возникает у собственника помещения с момента возникновения права собственности на такое помещение.
Также действующее законодательство Российской Федерации не содержит в себе запрета на продажу жилого помещения с долгами по коммунальным платежам, единственное, что может быть, как это судом может быть наложен запрет на совершении регистрационных действий с квартирой.  
С материнским капиталом ответ будет очень объемным, я рекомендую вам задать его отдельно. 

Квартиру с долгом можно продать только в том случае, если покупатель не будет проверять ваши долги, но, как правило, покупатель проверяет. В этом случае можно снизить стоимость квартиры на сумму задолженности, получить деньги и поехать в другой город. При покупке новой квартиры заключить договор с использованием средств материнского капитала.