А отец вынужден сидеть с ним и не работать, тем самым оставаясь без средств к существованию

Здравствуйте Екатерина!

Отец, если он вписан в свидетельство о рождении ребенка, имеет право оформить ежемесячное пособие по уходу за ребенком и получать его в течение полутора лет, сидеть дома и жить на это пособие (как вариант).

Доверенность на представление интересов ребенка не предоставляет право на воспитание и уход за ребенком. ( у отца такое право имеется в силу закона), такая доверенность не требуется отцу на воспитание и уход за ребенком. Кроме того, такая доверенность на имя отца не освобождает мать ребенка от обязанностей по содержанию и воспитанию ребенка. 

Вопрос ненадлежащего исполнения родительских обязанностей матерью ребенка рассматривается органом опеки и попечительства. Отец вправе обратиться (можно по телефону) в орган опеки, с матерью проведут беседу, если это не поможет, отец, равно как и орган опеки, вправе подать в суд на ограничение или лишение родительских прав, при этом суд присудит матери выплату алиментов на ребенка независимо от наличия у нее дохода. Злостные неплательщики алиментов подлежат даже уголовной ответственности. Лишение родительских прав не освобождает лишенного родителя от обязанности содержать ребенка.

УК РФ Статья 157. Неуплата средств на содержание детей или нетрудоспособных родителей

1. Неуплата родителем без уважительных причин в нарушение решения суда или нотариально удостоверенного соглашения средств на содержание несовершеннолетних детей, а равно нетрудоспособных детей, достигших восемнадцатилетнего возраста, если это деяние совершено неоднократно, —

наказывается исправительными работами на срок до одного года, либо принудительными работами на тот же срок, либо арестом на срок до трех месяцев, либо лишением свободы на срок до одного года.

Надеюсь, мой ответ был Вам полезен.