Что это может повлечь за собой?

Ирина добрый вечер.
Вероятнее всего клиника предлагает вам заключить договор оказания платных медицинских услуг.
Согласно п. 2 ст. 160 ГК РФ использование при совершении сделок факсимильного воспроизведения подписи с помощью средств механического или иного копирования либо иного аналога собственноручной подписи допускается в случаях и в порядке, предусмотренных законом, иными правовыми актами или соглашением сторон.
Законодательством не установлена возможность подписания договора оказания платных медицинских услуг факсимильной подписью. Таким образом возможность подписания такого договора факсимильной подписью должна быть предусмотрена соглашением сторон (т.е. самим договором, или правилами оказания услуг, к которым вы присоединитесь при его подписании, или дополнительным соглашением к договору). При этом такое соглашение должно содержать прямое указание на то, что стороны используют факсимильное воспроизведение подписи.
Если «живой» подписи на договоре не будет и не будет соответствующей оговорки об использовании факсимильного воспроизведения подписи, а иное в данном случае не предусмотрено ни законом, ни иным правовым актом, то суд может признать договор незаключенным (п. 2 ст. 160 ГК РФ). Вы будете обязаны доказывать, что клиника должна была вам оказать именно те услуги, которые указаны в договоре, т.к. фактически приняла от вас исполнение в виде оплаты, а также совершила конклюдентные действия, также вы рискуете на невозможность ссылаться на незаключенный договор при любом споре в том числе в части ответственности клиники перед вами.
 Вместе с тем, клиника, которая полностью или частично приняла исполнение от вас (получила денежные средства за оплату услуг), лишается права ссылаться на то, что договор незаключенный, поскольку это противоречит принципу добросовестности в гражданско-правовых отношениях, зафиксированному в статье 1 ГК РФ.
По сути, вы рискуете столкнуться с бюрократическими проволочками, а также невозможностью сослаться на положения договора в суде, или (не дай бог) подтвердить, что вы совершили оплату услуг в соответствии с договором (могут просто потом выставить счет на доп. услуги которые в договоре не оговорены, а т.к. он не заключен сослаться вы на него не сможете), или вообще могут не оплатить услуги заявив что вы ничего не оплачивали (а ваш договор может быть вовсе не с клиникой а с другим лицом, случаев мошенничества сейчас не мало).  
В данном случае целесообразно настоять на включение в договор пункт о возможности его подписания факсимильным воспроизведением подписи (или потребовать неотъемлемой приложение к договору, например Правила оказания услуг на которое есть отсылка в договоре, и которое закрепляет право подписывать такой документ факсимиле) и то что Стороны признают обязательность документов подписанных факсимильной подписью, а также право сторон использовать такую подпись для подписания договора, либо же попросить подписать договор живой подписью.