Здравсвтуйте Андрей!
Давайте по порядку:
Залогодержатель вправе осуществлять уступку прав (требований) по договору об ипотеке или по обеспеченному ипотекой обязательству (основному обязательству) любым третьим лицам, если законом или договором не предусмотрено иное.
Нужно посмотреть договор с первым банком. Его условия которые вас устроили и сличить с условиями предлагаемыми вторым банком.
Есть ли различия и если есть то в чем различия, что бы понимать о чем речь.
По общему правилу, применительно к вашему вопросу, следует вам иметь ввиду, что если не доказано иное, уступка прав по договору об ипотеке означает и уступку прав по обеспеченному ипотекой обязательству (основному обязательству).
Правовое основание — ст. 47 Федерального закона от 16.07.1998 N 102-ФЗ (ред. от 30.12.2020) «Об ипотеке (залоге недвижимости)» (с изм. и доп., вступ. в силу с 10.01.2021)
Важно для вас изучая договорные обязательства новые, обратить внимание, что если договором не предусмотрено иное, к лицу, которому переданы права по обязательству (основному обязательству), переходят и права, обеспечивающие исполнение обязательства.
И такое лицо становится на место прежнего залогодержателя по договору об ипотеке.
Ну и нужно понимать, что сама уступка прав по обеспеченному ипотекой обязательству (основному обязательству) должна быть совершена в той форме, в которой заключено обеспеченное ипотекой обязательство (основное обязательство).