Имел ли право департамент образования вычислять настоящее имя человека, который написал жалобу под другим именем и фамилией, дабы быть анонимом?

Здравствуйте, Оксана.

Федеральный закон от 02.05.2006 N 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации»
Статья 11. Порядок рассмотрения отдельных обращений 

1. В случае, если в письменном обращении не указаны фамилия гражданина, направившего обращение, или почтовый адрес, по которому должен быть направлен ответ, ответ на обращение не дается. Если в указанном обращении содержатся сведения о подготавливаемом, совершаемом или совершенном противоправном деянии, а также о лице, его подготавливающем, совершающем или совершившем, обращение подлежит направлению в государственный орган в соответствии с его компетенцией.

Департамент образования, в зависимости от содержания анонимного обращения, в праве не проводить проверку и совсем не рассматривать обращение.