Может ли наследство от деда быть их совместно нажитым имуществом?

Здравствуйте, Тимофей. 

Поскольку вопросов у вас очень много, отвечу кратко: 

1. Как выселить сожительницу?

Вступаете в наследство и выселяете через суд. Но, думаю, что этого не потребуется, если она увидит документы на право собственности. 

2. Можно ли привлечь её по статье «Самоуправство»? Она подтверждает на видео, что сжигает и раздает вещи, но участковый сообщает, что нужно определить стоимость вещей, но их сожгли/продали — ничего не сделать. Как предотвратить погром?

Нет, состава преступления, предусмотренного статьей 330 УК РФ, в действиях сожительницы вашего отца нет. Тем более, что непонятно, чьи вещи она сжигает и продает — может быть они принадлежат ей лично. 

3. Можно ли привлечь её за мат в доме?

Нельзя, ибо жилой дом — это не общественное место. 

4.Можно ли привлечь её за курение и распитие алкоголя в доме?

Нельзя, по тем же причинам. 

5. Можно ли поменять замки в доме или в некоторых строениях(гараж, времянка) и ограничить её в их пользование?

Можно. Сожительница наследником не является. А вы — очень даже. Поэтому вы в своем праве. 

6. Может ли она прикинуться иждивенцем(для попытки получить долю), ведь она работала не официально.

Не может: иждивенцами могут быть только нетрудоспособные лица. Отсутствие официальной работы — не основание. 

7. Может ли наследство от деда быть их совместно нажитым имуществом?

Не может: имущество, полученное по наследству, совместно нажитым не является. К тому же брак ваш отец с этой  женщиной не  заключал, так что ни о каком совместном имуществе речи тут в принципе не идет.