Добрый день Максим.
Как я понимаю, бабушка по материнской линии.
Раз иных наследников нет, то вы наследуете по праву представления.
ГК РФ Статья 1142. Наследники первой очереди
2. Внуки наследодателя и их потомки наследуют по праву представления.
Обратитесь к нотариусу по месту жительства с заявлением о принятии наследства либо заявления о выдаче свидетельства о праве на наследство.
Также предоставьте все имеющиеся документы на квартиру.
В заявлении укажите, что у вас с бабушкой разные фамилии. Предоставьте свидетельство о браке между родителями (если оно есть и брак имел место.)
Так вам надо будет уплатить госпошлину в размере 0,6 % стоимости наследуемого имущества, но не более 1 000 000 рублей;
В дальнейшем, при необходимости, нотариус может направить необходимые запросы для подтверждения данного факта (в ЗАГС например.)
Это не столь важно. Все равно вы являетесь наследником. Если возникнут какие то проблемы, нотариус должен вас уведомить.