Как быстро можно решить вопрос с помощью суда?

Иван, здравствуйте. 

Начнем с того, что управляющая компания вполне может установить заглушку на канализацию. Но перед этим она должна предупредить должника письмом. Если он не придет на почту за этим письмом, то дождаться, когда истечет срок хранения письма на почте, а кроме того, сообщить в Роспотребнадзор о начавшемся ограничении.

Если этого сделано не будет, то управляющую компанию можно привлечь к административной ответственности по части 9 статьи 9.22 КоАП РФ.

Советую вначале обратиться с жалобой в жилищную инспекцию по вопросу проверки законности действий управляющей компании. Если вы обратитесь в суд, то решение может затянуться на длительное время (суд скоростью не отличается).