Родился сын, нам нужно прописать его, но мы переехали из того города в котором прописаны сами, может ли бабушка, имея наши документы на руках, прописать ребенка без нашего присутствия?

без Вашего присутствия бабушка может прописать только по нотариальной доверенности, которую Вы можете выписать на неё там, где находитесь, и выслать ей почтой

Добрый вечер, Евгений! К сожалению, зарегистрировать ребенка по месту жительства могут только родители, причем при условии подписания заявления и папой и мамой. Честно говоря, не уверена, что нотариус согласится выдать доверенность на прописку ребенка. Дело в том, что в такой доверенности Вы должны будете действовать от имени ребенка, а в этом случае требуется согласие органов опеки и попечительства. Если Вы являетесь собственником жилого помещения в котором прописаны и у Вас при себе есть такие документы, зарегистрировать ребенка по месту жительства можно через МФЦ или сайт Госуслуг (при наличии подтвержденной учетной записи). С этого года МФЦ принимают документы в любом регионе.