Возможно ли было в РСФСР, в 80-е годы прошлого века, прописать в однокомнатную квартиру к бабушке внука 14 лет при живых родителях ребенка, имеющих достаточную жилплощадь?

Здравствуйте, Марина.

Возможно. Причем условия вселения и прописки могли отличаться в зависимости от местных ограничений (для крупных городов, особенно Москвы и Ленинграда устанавливались «лимиты» на приезжих), того, откуда прибыл ребенок (из того же города или нет) и коррупционности региона. 

Например, в Ленинграде для этого надо было «дать на лапу кому следует», потому что «не местные» («лимитчики») могли быть прописаны к родственникам только на период работы, а несовершеннолетние, само собой в 14 лет редко принимались на работу. Но моей однокласснице (мы не из Ленинграда родом) в возрасте 17 лет удалось прописаться к бабушке (это был 1985 г.), насколько помню — за взятку.

Наниматель вправе в установленном порядке вселить в занимаемое им жилое помещение своего супруга, детей, родителей, других родственников, нетрудоспособных иждивенцев и иных лиц, получив на это письменное согласие всех совершеннолетних членов своей семьи. На вселение к родителям их детей, не достигших совершеннолетия, не требуется согласия остальных членов семьи.
 

ст. 54, «Жилищный кодекс РСФСР» (принят ВС РСФСР 24.06.1983) 

Более глубоко «копать» не готова, так как консультация бесплатная. Если хотите полноценное исследование по этому вопросу (причем учитывайте, что 80-е это и до и после начала «перестройки», так что за 10 лет могло быть по нескольку изменений) — обращайтесь в чат.