Может ли отец ребёнка написать отказ от него, если тот нигде не был вписан, и не платил алименты, и участвовал в жизни ребёнка?

Написать отказ от ребенка нельзя. Но вы можете подать в суд на лишение родительских прав в связи с тем, что отец не участвует в жизни ребенка и другие веские причины для этого.  Решать будет суд. Обязанность по выплате алиментов при лишении родительских прав снята с отца не будет, при этом отец не сможет подать на алименты на взрослого ребенка в старости.