Сколько отводов можно заявлять судье по гражданскому делу в рамках одной инстанции?

Максим, законодатель не ограничил количество отводов, которое можно заявить судье. Однако имейте в виду, основаниями для отвода судьи являются по ГПК РФ: 

Мировой судья, а также судья не может рассматривать дело и подлежит отводу, если он:
1) при предыдущем рассмотрении данного дела участвовал в нем в качестве прокурора, помощника судьи, секретаря судебного заседания, представителя, свидетеля, эксперта, специалиста, переводчика;
(в ред. Федерального закона от 29.07.2018 N 265-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1.1) являлся судебным примирителем по данному делу;
(п. 1.1 введен Федеральным законом от 26.07.2019 N 197-ФЗ)

2) является родственником или свойственником кого-либо из лиц, участвующих в деле, либо их представителей;
3) лично, прямо или косвенно заинтересован в исходе дела либо имеются иные обстоятельства, вызывающие сомнение в его объективности и беспристрастности.
2. В состав суда, рассматривающего дело, не могут входить лица, состоящие в родстве между собой.

По  ст. 61 УПК РФ: 

 Судья, прокурор, следователь, начальник органа дознания, начальник подразделения дознания, дознаватель не может участвовать в производстве по уголовному делу, если он:
(в ред. Федерального закона от 30.12.2015 N 440-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

1) является потерпевшим, гражданским истцом, гражданским ответчиком или свидетелем по данному уголовному делу;
2) участвовал в качестве присяжного заседателя, эксперта, специалиста, переводчика, понятого, помощника судьи, секретаря судебного заседания, защитника, законного представителя подозреваемого, обвиняемого, представителя потерпевшего, гражданского истца или гражданского ответчика, а судья также — в качестве дознавателя, следователя, прокурора в производстве по данному уголовному делу;
(в ред. Федерального закона от 29.07.2018 N 228-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3) является близким родственником или родственником любого из участников производства по данному уголовному делу.
2. Лица, указанные в части первой настоящей статьи, не могут участвовать в производстве по уголовному делу также в случаях, если имеются иные обстоятельства, дающие основание полагать, что они лично, прямо или косвенно, заинтересованы в исходе данного уголовного дела.

По стт. 63 УПК РФ: 

Судья, принимавший участие в рассмотрении уголовного дела в суде первой инстанции, не может участвовать в рассмотрении данного уголовного дела в суде второй инстанции или в порядке надзора, а равно участвовать в новом рассмотрении уголовного дела в суде первой или второй инстанции либо в порядке надзора в случае отмены вынесенных с его участием приговора, а также определения, постановления о прекращении уголовного дела.
2. Исключен. — Федеральный закон от 29.05.2002 N 58-ФЗ.
(см. текст в предыдущей редакции)

2. Судья, принимавший участие в рассмотрении уголовного дела в суде второй инстанции, не может участвовать в рассмотрении этого уголовного дела в суде первой инстанции или в порядке надзора, а равно в новом рассмотрении того же дела в суде второй инстанции после отмены приговора, определения, постановления, вынесенного с его участием.
3. Судья, принимавший участие в рассмотрении уголовного дела в порядке надзора, не может участвовать в рассмотрении того же уголовного дела в суде первой или второй инстанции.

Эти перечни являются исчерпывающими. 

Также имейте в виде, если суд откажет вам в удовлетворении ходатайства об отводе судье, то при повторных ходатайствах, решение суда будет аналогичным.