Если нет, то каким образом можно ускорить процесс возмещения ущерба?

Есть два варианта Ваших действий. Первый- все таки дождаться вынесения определения или постановления сотрудника полиции, суда по факту совершенного виновником правонарушения и обратиться в страховую компанию. Этот вариант самый простой и быстрый. Второй вариант- обратиться в суд с иском к страховой компании в соответствии со ст.ст.131-132 ГПК РФ о взыскании страхового возмещения. Но в суде Вам потребуется провести всю ту работу, которое проводит ГИБДД с целью установления вины владельца Транспортного средства. Это будет не дешево и по времени не меньше чем в первом варианте.

Здравствуйте, Эдуард!

Пунктом 3.10 Положение Банка России от 19.09.2014 N 431-П  «О правилах обязательного страхования гражданской ответственности владельцев транспортных средств»  установлено, что при подаче заявления на получение страховой выплаты представляются также:  

копии протокола об административном правонарушении, постановления по делу об административном правонарушении или определения об отказе в возбуждении дела об административном правонарушении, если оформление документов о дорожно-транспортном происшествии осуществлялось при участии уполномоченных сотрудников полиции, а составление таких документов предусмотрено законодательством Российской Федерации;

Соответственно, Вы можете подать заявление на страховую выплату с приложением всех документов о ДТП, а после проведения адм. расследования приложить соответствующий документ ГИБДД. Страховая компания в свою очередь должна направить Вам письмо о необходимости представления данного документа и что рассмотрение страхового случаю будет начато, только с момента получения соответствующего документа.  

Если у Вас появились дополнительные вопросы, можете задать их дополнив свой вопрос. Подробная или дополнительная консультация, изучение документов и составление юридических документов (жалоб, претензий, исковых заявлений, ходатайств, договоров и прочих документов) происходит в чате на платной основе