Если нет, то кто тогда должен его оплачивать?

Добрый день. Ольга, наниматели жилого помещения по договору социального найма не обязаны платить за капитальный ремонт. 

Это прямо следует из положений статьи 154 Жилищного кодекса РФ, согласно которой: 

1. Плата за жилое помещение и коммунальные услуги для нанимателя жилого помещения, занимаемого по договору социального найма включает в себя:

2) плату за содержание жилого помещения, включающую в себя плату за услуги, работы по управлению многоквартирным домом, за содержание и текущий ремонт общего имущества в многоквартирном доме, а также за холодную воду, горячую воду, электрическую энергию, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме, за отведение сточных вод в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме (далее также — коммунальные ресурсы, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме).Капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме проводится за счет собственника жилищного фонда;

Кроме того, в статье 169 Жилищного кодекса РФ указанно следующее: 

1. Собственники помещений в многоквартирном доме обязаны уплачивать ежемесячные взносы на капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме.

Исходя из вышеизложенного — капитальный ремонт должен проводиться за счет собственника жилого помещения.

Если у Вас остались вопросы, то Вы можете их мне задать. 

Добрый день. В силу ЖК РФ (ст. 157)

Плата за жилое помещение и коммунальные услуги для нанимателя жилого помещения, занимаемого по договору социального найма или договору найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, включает в себя:

2) плату за содержание жилого помещения, включающую в себя плату за услуги, работы по управлению многоквартирным домом, за содержание и текущий ремонт общего имущества в многоквартирном доме, а также за холодную воду, горячую воду, электрическую энергию, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме, за отведение сточных вод в целях содержания общего имущества в многоквартирном доме (далее также — коммунальные ресурсы, потребляемые при использовании и содержании общего имущества в многоквартирном доме).Капитальный ремонт общего имущества в многоквартирном доме проводится за счет собственника жилищного фонда;

Так как собственником Вы не являетесь, то платить за капремонт Вы не должны. Такая обязанность возложена на собственника жилого помещения.