И на что она вообще может претендовать?

Здравствуйте.

Если Ваш отец не оставит завещания, то Вы, другие его дети (если есть) и нынешняя супруга будете призваны к наследству в качестве наследников первой очереди, и все имущество, которым владеет Ваш отец будет поделено поровну между Вами, то есть претендовать она может на долю от всего, чем владел Ваш отец на момент смерти.

Валера, здравствуйте!

Вы и супруга отца — его наследники первой очереди. На основании этого вы будете делить с его супругой все, что будет принадлежать отцу на праве собственности на день его смерти. Если его супруга первая умерла и квартира по наследству перешла ему, то в этом случае данная квартира войдет в наследственную массу и вы разделите ее в долях каждый по 1/2 доли.

Если не хотите делить с супругой отца наследство, то пусть отец при жизни подарит вам какое-то имущество

Добрый вечер Валерий. Хотелось бы начать с того, что Гражданский кодекс предусматривает такое понятие как завещание. Если Ваш папа пропишет в данном документы как он распределяет свое имущество между наследниками, то вопросы отпадут сами собой.

Но если завещания не будет, то согласно статьям 1141 и 1142 Гражданского кодекса российской Федерации Наследники по закону призываются к наследованию в порядке очередности, на все имущество умершего, не зависимо от того когда и в браке с кем это имущество приобретено. 

Наследниками первой очереди по закону являются дети, супруг и родители наследодателя. Исходя из норм действующего законодательства сегодняшняя супругу Вашего папы будет претендовать на квартиру в которой вы проживаете, так как она оформлена на ее супруга. И в принципе она может претендовать на все имущество которое останется после вашего отца. Факт того, что она не работает не имеет значения и факт того, что в браке почти ничего не приобреталось тоже значения не имеет.