Правомерен ли отказ школы выдать характеристику на руки?

Такой отказ неправомерен.

Обращение в государственное учебное заведение регламентируется п.3 ст.5, ст.10 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ, и ч.3 ст. 44 Федерального закона от 29.12.2012 N 273-ФЗ (ред. от 30.12.2021) «Об образовании в Российской Федерации». Указанные нормы закона обязывают школу предоставить характеристику на вашего ребенка, что по своей сути является реализация Вашего права знать о результатах обучения, успеваемости, психологических особенностей и т.п. н

Рекомендую Вам: подать письменное заявление в школу на предоставление характеристики с указанием приведенных выше норм закона. 

в случае отказа подать  в вышестоящий орган, либо иск в порядке административного производства.       

Обратите внимание, что как правило в школах имеется регламент выдачи таких характеристик, который доступен в открытом доступе на сайте школы.  

Надеюсь мой ответ помог  Вам