В браке не состою, но фамилия у ребёнка будет отца, будет ли это препятствием?

Доброе утро. Данное обстоятельство препятствием не будет. Семейный кодекс РФ определяет местом жительства детей место жительства их родителей. Таким образом, регистрация по месту жительства Вашего ребенка будет осуществлена по Вашему месту регистрации вне зависимости от того муниципальное это жилье или нет. С необходимыми документами Вам необходимо обратиться в  МФЦ или орган МВД, отвечающий за выполнение указанных функций. Также Вам необходимо будет внести изменения в договор социального найма для включения ребенка в качестве члена семьи.