Можно ли вписать в приватизированную квартиру детей если они проживают в другом городе

Нет. Просто вписать нельзя. Вы можете им подарить долю от совей собственности через нотариуса.

Можно прописать детей в приватизированную квартиру. 
Но стоит понимать, что прописка не дает право собственности. 
И детей  до 18 лет просто так не выпишешь в некуда. 
Так же можно выделить доли в приватизированной квартире — тогда дети будут собственниками. 
Все зависит для чего вы желаете прописать детей в своей приватизированной квартире. 
К тому же чтобы прописать детей — нужно согласие собственников жилья. Если прописывает собственник (доля например у него) то согласие др. собственников не важно. Родители вправе прописать ребенка по своему усмотрению. 
Удачи!