Нужно ли мне тут делать прописку?

Да, конечно. В квартире по соцнайму надо быть прописанным. 

Здравствуйте! Жилое помещение предоставлено вам по договору найма специализированного жилого помещения сроком на 5 лет (это не договор социального найма, сиротам перестали предоставлять жилье по договорам социального найма с 01 января 2013 года). Действующее законодательство не содержит прямого требования быть зарегистрированным по месту жительства в жилом помещении, предоставленном по статусу сироты. При наличии регистрации в другом жилом помещении. при этом по истечении срока действия договора спецнайма и перевода из спецнайма в соцнайм наличие постоянной регистрации в данном жилом помещении проверяется и приветствуется. так что можно зарегистрироваться непосредственно перед окончанием срока действия договора специализированного найма.