Можно ли прописать новорожденного ребенка к прабабушке, а не по месту проживания родителей?

Молодые родители вправе «прописать» своего ребенка по тому адресу, где проживают сами, это закреплено Гражданским кодексом России.
Также, если у законных представителей в распоряжении только доля в имеющемся жилье, они не ограничены в том, чтобы прописать туда несовершеннолетнего. Получать разрешение от остальных собственников нет необходимости.
В ситуации, при которой родители ребенка в официальном браке не зарегистрированы или живут раздельно, регистрирующий орган вправе запросить разрешение одного родителя на «прописку» ребенка с другим. Это возможно и в случае, когда родители являются законными супругами и проживают совместно, но по каким-либо причинам имеют разный официальный адрес регистрации.

Здравствуйте Игорь!

Несовершеннолетний ребенок должен быть прописан у одного из родителей (п. 2. ст. 20 ГК РФ):

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших четырнадцати лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей — родителей, усыновителей или опекунов.

Ситуация также регулирует Федеральный закон от 15 ноября 1997 г. N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния» —  ребенок обязан быть зарегистрирован по месту проживания его родителей или лиц, замещающих их (усыновителей и опекунов). 

Эта связано с тем, что рождённый младенец ещё не имеет никаких личных документов и поэтому для его регистрации нужно изначально определить  его пребывание, а уже потом — оформить его пребывание на конкретной жилой территории.

Ст. 15 п. 1 ФЗ «Об актах гражданского состояния» :

Государственная регистрация рождения производится органом записи актов гражданского состояния по месту рождения ребенка или по месту жительства родителей (одного из родителей).