При увольнении по истечению срока контракта был отправлен в военкомат по месту жительства для постановки на

ФЗ «О воинской обязанности и военной службе» не предусматривает оснований для отказа в постановке на воинский учет.

Более того, в Постановление Правительства РФ от 27.11.2006 N 719 «Об утверждении Положения о воинском учете» указано, что 

6. Должностные лица органов государственной власти, органов исполнительной власти субъектов Российской Федерации, органов местного самоуправления и организаций обеспечивают исполнение гражданами обязанностей в области воинского учета в соответствии с законодательством Российской Федерации.
14. Воинскому учету в военных комиссариатах, органах местного самоуправления и организациях подлежат:
б) граждане, пребывающие в запасе (далее — военнообязанные):
мужского пола, пребывающие в запасе;
уволенные с военной службы с зачислением в запас Вооруженных Сил Российской Федерации;

Основанием для отказа в постановки на воинский учет являются случаи когда гражданин в силу закона не может находиться на воинском учете.
К их числу относятся:

а) освобожденные от исполнения воинской обязанности в соответствии с Федеральным законом «О воинской обязанности и военной службе»;
б) проходящие военную службу;
в) отбывающие наказание в виде лишения свободы;
г) женского пола, не имеющие военно-учетной специальности;
д) постоянно проживающие за пределами Российской Федерации;
е) имеющие воинские звания офицеров и пребывающие в запасе Службы внешней разведки Российской Федерации и Федеральной службы безопасности Российской Федерации.

В их число Вы соответственно не входите, в связи с чем отказ в постановке на воинский учет не обоснован.

в новом военном билете(старый был утерян не задолго до увольнения) не было некоторых записей ( дата принятия присяги и т д).

 По смыслу Положения о воинском учете военкомат осуществляет проверку содержания военного билета.

Однако не корректно внесенные в него сведения, а равно отсутствие некоторых не является основанием для отказа в постановки на воинский учет.

Отказ в постановке в Вашем случае не предусмотрен также и в Приказе Министра обороны РФ от 22.11.2021 N 700 «Об утверждении Инструкции об организации работы по обеспечению функционирования системы воинского учета»

в силу которого в отношении Вас должны были завести дубликат алфавитно-учетной карточки и  заполняется извещение, которое направляется по месту службы для выдачи Вашего личного дела.

Как быть? Не могу же я не состоять на учете

Подайте письменное заявление о постановке Вас на воинский учет, зарегистрировав его в канцелярии.

В этом случае Вы свою обязанность будете считаться исполнившим, то что Вас в силу технических причин военкомат не хочет ставить на учет — для Вас это не влечет негативных последствий.