Что нужно сделать чтобы ей не нужно было вылетать через 3 месяца из России ( пересекать границу), как можно оформить наши трудовые отношения?

Что касается налогов, то она может зарегистрироваться в качестве плательщика налога на профессиональный доход (самозанятая) в мобильном приложении «Мой налог». В таком случае она будет платить налог в размере 4% при оказании Вам услуг как физ лицу, страховые взносы не платит, также ей нужно будет выдавать Вам чек. В данном случае следует заключить с ней договор ГПХ, а не трудовой договор.

Если она не станет самозанятой, Вы должны будете на нее платить страховые взносы, а она сама платить НДФЛ 13% как налоговый резидент РФ и подавать декларацию по НДФЛ.

Дополню коллег.
При заключении трудового или договора ГПХ ЗАЯВИТЕЛЕМ является работодатель или заказчик услуг. Срок подачи уведомления о заключении трудового или договора ГПХ — 3 дня с момента заключения. Форма не свободная, а утверждённая Приказом МВД 363, приложение 13.

Требования к заполнению изложены там же. Самостоятельно заполнить сможете вряд ли, лучше обратиться туда, где платно заполняют бланки. 
Продление миграционного учёта происходит ПОСЛЕ заключения договора и подачи уведомления в УВМ, но на его ОСНОВАНИИ. 
ЗАЯВИТЕЛЕМ при подачи уведомления о ПРИБЫТИИ иностранного гражданина в адрес проживания является ПРИНИМАЮЩАЯ СТОРОНА. То есть няня сама никуда не ходит и ничего не подаёт. Кроме декларации о доходах, которую она подаёт в ФНС самостоятельно по окончанию отчетного года по форме 2НДФЛ. С суммы дохода налог 13% няня уплачивает самостоятельно. 
Всем удачи ! 

Сейчас вашей няне, оптимально- заключить договор ГПХ, в частности договор возмездного оказания услуг согласно статье 779 Гражданского кодекса.

Если он будет заключен на определенный срок, то срок пребывания будет определяться сроком его действия, если договор будет заключен на неопределенный срок,то как я выше написал, срок пребывания продлевается  до 1 года, с последующим неоднократным продлением до 1 года

После заключения договора ГПХ- для продления срока пребывания в России действовать в соответствии с Приказом МВД России от 22 ноября 2021 г. N 926 «Об утверждении Порядка принятия решения о продлении либо сокращении срока временного пребывания иностранного гражданина или лица без гражданства в Российской Федерации».

  продолжу ниже

В силу пункта 6.1 указанного выше Приказа МВД РФ-

если иностранный гражданин является трудящимся государства — члена Договора о Евразийском экономическом союзе,заключившего трудовой или гражданско-правовой договор с работодателем или заказчиком работ (услуг) в соответствии с законодательством Российской Федерации 3, либо членом семьи трудящегося государства — члена Евразийского экономического союза,иностранным гражданином или принимающей его стороной в подразделение по вопросам миграции по месту пребывания

То есть, после заключения договора ГПХ, до истечения 90 суток пребывания в России («первичного»)- либо сама няня, либо принимающая сторона (родственник, который ей оформлял миграционный учет)), должны обратиться в отдел по вопроса миграцмии ОМВД с заявлением о продлении срока пребывания.

продолжу ниже