И что будет, если не приходить в военкомат за военным билетом после прохождения кафедры?

Здравствуйте!

Могут ли в военкомате при выдаче военного билета после прохождения военной кафедры тут же вместе с ним выдать повестку на мобилизацию или мобилизационное предписание?

Формально, этому ничего не мешает. Правда, с экранов говорят, что не служивших не будут брать, но уже есть случаи, когда все идет не так. 

И обязывает ли мобилизационное предписание являться во время частичной мобилизации?

Частичная мобилизация — та же мобилизация, то есть действуют такие же правила.

Что будет, если его игнорировать?

Пока усматривается административка по ст.21.5 коап (штраф до 3.000 руб), но уже начинает набирать силу мнение, что можно «притянуть» и уголовку по ст.328 УК, несмотря на ранее данные разъяснения Верховного Суда РФ (правда они даны до объявления мобилизации).